4. 지수귀문도가 가질 수 있는 x 의 범위

CS공식과 베타-델타 공식, 이 두공식을 모두 만족하면서 존재할 수 있는 x의 범위를 구해보자.

식(17)를 베타에 관해서 정리하면 식(18)이 만들어진다.

              β =  465 - 4x - δ                                  (18)

식(6)을 감마에 관하여 정리하면 식(19)가 만들어진다.

               γ = x - β                                          (19)

식(18)을 (19)에 대입하면 식(20)을 얻을 수 있다.

               γ = x - (465 - 4x - δ)

                  = 5x - 465 + δ                                 (20)

또한 식(15)의 CS 공식을 S에 관해서 정리하면 식(21)이 만들어진다.

              S = 9x - 465 - 2C                               (21)

 베타델타공식으로 만들어진 식(20), CS 공식에서 유도된 식(21), 식(7)을 합치면

아래 식(22) 가 만들어진다.

              γ +  S = 5x - 465 + δ + 9x - 465 - 2C

                       = 14x - 930 + δ -2(α + x)                  

                       = 12x -930 + δ -2α                       (22)

식(22)를 x에 관해서 정리하면 식(23)이 된다.

              x =  ( 2α + γ + S + 930 - δ ) / 12              (23)

α와 γ 는 C에 속하고 δ 는 J에 속하므로 식(23)은 중복되는 수가 없다.

x가 최소값을 가지려면 α가 최소값, γ + S도 최소값,  δ는 최대값을 가져야 한다.

α의 최소값은  1 + 2 = 3 이며,

γ + S의 최소값은 3부터 14까지 12개의 숫자를 합친값이므로 3 + 4 + 5 +....+14 = 102 이다.

4개숫자의 합인 δ의 최대값은 27 + 28 + 29 + 30 = 114 이다.

따라서 x의 최소값 = ( 2*3 + 102+930 - 114 ) / 12 = 77   이 된다.

x가 최대값을 가지려면 α가 최대값, γ + S도 최대값,  δ는 최소값을 가져야 한다.

α의 최대값은  29 + 30 = 59  이며,

γ + S의 최대값은 28부터 17까지 12개의 숫자를 합친값이므로 28 + 27 + .... +17 = 270  이다.

4개숫자의 합인 δ의 최소값은 1 + 2 + 3 + 4 = 10   이다.

따라서 x의 최대값 = ( 2*59 + 270 + 930 - 10 ) / 12 = 109   가 된다.

따라서 x값은 최소 77에서 최대 109 까지 총 33가지가 존재한다.