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나머지 정리

 

ㅇ 나눌 때 알아두어야 할 것들

    다항식  f(x)를 일차식  (x - a ) 로 나누었을 때 다음식이 성립합니다.

              f(x) = (x-a)Q(x) + R

    이 때, Q(x) 를 몫, R 을 나머지 라고 합니다.

 

ㅇ 일차식으로 나누었을 때 나머지는 상수

    이차식으로 나누면 나머지는 일차식...

    3차식으로 나누면 나머지는 2 차식이 됩니다.

 

ㅇ 다항식을 일차식으로 나누었을 때 다음과 같이 성립됩니다.

   1. 다항식 f(x) 를 일차식  x - a 로 나누었을 때 나머지는 f(a)

     [풀이]    f(x) = (x-a)Q(x) + R  이므로 양변에  x =a 를  대입하면

                  f(a) = (a-a)Q(x) + R = R

                    다라서, 나머지 R = f(a)

              

   2. 다항식 f(x) 가 일차식  x - a 로 나누어 떨어지기 위한

       필요충분조건은  f(a) = 0  입니다

       [풀이]    f(x) = (x-a)Q(x) + R  일 때 나누어 떨어진다는 것은

                   나머지가 없다는 것이므로 R =0입니다.

                따라서, 위식은  f(x) = (x-a)Q(x) 가 됩니다. 

                   이 식의 양변에  x =a 를  대입하면

                   f(a) = (a-a)Q(x) = 0

 

문1] 다항식 x 3 + 2 x 2 - a x + 6 을  x -1 로 나누었을 때 나머지가  3 이었다.

       이 때  a 의 값은 ?

[풀이]  나머지가 3 이므로 몫을 Q(x) 라고 하며 다음과 같이 된다.

            x 3 + 2 x 2 - a x + 6 = ( x - 1) Q(x) +3

         위 식의 양변에  x = 1 을 대입하면

            1 + 2 - a +  6 =( 1-1)Q(1) + 3

            9 -a = 3   

          따라서  a = 6

답1]  a = 6

 

문2] 다항식  x 3  - 3 x 2  + 3x + a 가  x -2 로 나누어 떨어질 때  a 는 ?

풀이 ] 나누어 떨어지면 식이 다음처럼 된다.

       x 3 - 3 x 2  + 3x + a  = ( x -2 )Q(x)

        위 식의 양변에  x = 2 를 대입하면

            8  - 12 + 6 + a =( 2-2)Q(2)

            2 +a = 0   

          따라서  a = - 2

답2]  a =- 2