6-3. 근과 계수의 관계 - 공통수학

6-3

근과 계수의 관계

ㅇ 이차방정식의 두 근과 계수는 아주 묘한 관계가 있습니다.

그 관계를 바로 써보면 다음과 같습니다.

2차 방정식 ax²+ bx + c = 0 (단, a ≠ 0 ) 의 두 근을 α, β라고 하면

두 근의 합 ; α + β = - b / a

두 근의 곱 ; α, β = c / a

위 식을 유도해보면 다음과 같습니다.

문1] x ²+ 2x +2 =0 의 두 근을 m , n 이라고 할 때 다음 값을 구히시오.

1) ( m +1)(n +1) 2) m ²+ n ²

풀이] 위 2차 방정식의 계수가 a =1, b =2 , c =2 이므로 근과 계수의 관계를 이용하면

두 근의 합 m + n = -b/a = -2 , 두 근의 곱 mn = c / a =2

1) ( m +1)(n +1) = mn + m + n + 1 = 2 +( -2) +1 = 1

2) m ²+ n ²= ( m + n )²- 2mn = (-2)²-2 x 2 = 0

답1] 1) 1 2) 0

문2] 이차방정식 x ²+ ax + b = 0 의 두 근 m , n 이 다음과 같은 조건을 만족할 때

a 과 b 를 구하시오. ( 단, a ≠ 0 )

m + n = mn , m ²+ n ²= 0

풀이] 근과 계수의 관계에 의해

m + n = -a , mn =b 이므로

m + n = mn 에 대입하면 -a = b ---(1)

m ²+ n ²= ( m + n ) ²- 2mn = (-a) ² - 2b = a ²- 2b = 0 ---(2)

(1)식의 b 값을 (2) 식에 대입하면

a ²- 2b = a ²- 2 (-a) = a ²+ 2a = a (a +2 ) = 0

따라서 a = 0 , -2 인데 a는 0 이 아니라고 했으므로 a = -2입니다.

(1) 식에 의하면 b = -a 이므로 b = 2

답2] a =-2 , b =2